دید کلی

مفهوم تایع یکی از مهم ترین مفاهیم علم ریاضی بوده و به همان اندازه در ریاضی اهمیت دارد که مفهوم مجموعه دارد. اغلب، می گویند تابع، کمیت متغیری است که از کمیت متغیر دیگر تبعیت می کند. برای توزیع "معمولی"، مانند:

Y=sinx ,y=x2 , y=a+bx

والی آخر، این تعریف کاملا مناسب می باشد. ممکن است اگر توابع دیگری، مانند: y=sin2x+cos2x

را در نظر بگیریم، می بینیمی که مقادیر آن تابعه دیگر تغییر نمی کند و بنابراین دیگر کمیت متغیری که از کمیت x تبعیت کند، وجود نداد.
! تعریف تایع:
تناظری که به هر عنصر x از یک مجموعه x فقط و فقط یک عنصر y از یک مجموعه y رانسبت را دهد، تایع گویند. توابع را با حروف f یا حروف کوچک خطی لاتین نشان می دهیم.

مفهوم تابع از دیدگاه دیگری

از طرفی، تحت عنوان کمیت "چیزهایی" را در نظر می گیرند که آنها همه با هم قابل مقایسه باشند. یعنی "چیزهایی که" بین آن ها روابط "بیشتر" و "کم تر" و.جود دارد.
در صورتی که در ریاضیات، توابعی نیز مطالعه می شود که برای آنها این روابط تعیین نشده است، مثلا به عنوان مثال از اعداد کمپلکس (مختلط) یا به طور کلی از عناصر یک مجموعه دلخواه می توان اسم برد. توجه دقیق نشان می دهد که در مفهوم تابع وابستگی تغییرات به تغییرات متغیر مستقل آنم اندازه مهم نیست که تناظر بین مقادیر متغیر مستقل و مقادیر تابع مهم می باشد. به خصوص اگر به خاطر بیاوریم که تمامی اطلاعات راجع به تابع، می تواند از بیان گرافیکی آن استخراج گردد، و در نتیجه نباید فرض بین بیان گرافیکی تابع و خود تابع قائل شده و از طرفی
رافیک تابع مجموعه نقاطی است که هر یک از آن ها با دو مختصات y,x یعنی با (x,y) مشخص میگرند. بدین ترتیب به نظر می رسد که در تعریف تابع، مناسب است از آن خصوصیات مجموعه زوج های مرتب استفاده گردد که ویژه گرافیک تابع باشند.

قلمرو و برد تابع:

مجموعه x را قلمرو تابع و مجموعه y را برد تابع f می نامند. تابعf را از مجموعه x به مجموعه y را معمولا به صورت f:x→y y=f(x)
نشان می دهند.

مثال هایی از تابع:

1) تبدیل درجه فارنهایت به سانتیگراد را در نظر می گیریم برای هر عدد حقیقی x، درجه فارنهایت معادل است با:
درجه سانتیگراد.
فرض می کنیم y,x هر دو عدد مجموعه اعداد حقیقی باشند، در نتیجه این عمل، به هر عنصر x از مجموعه Xعنصر یگانه f(x) از مجموعه y را نظیر می کند. اگر داشته باشیم:
پس نتیجه می گیریم برای هر مقدار x یک مقدار x از منحصر بفردی y موجود است.
f(32)=0 f(68)= 0 f(212)=0

مفهوم تابع برای سه تایی مرتب:
اگر در نظر بگیریم که خود متناظر به توسعه 3- تایی مرتب مجموعه هایی است که9 جزو اول آن زیر مجموعه از حاصل ضرب مستقیم جز دوم و سوم آن می باشد و بین عناصر این حاصل ضرب زوج هایی که اجزا اول آنها یکسان و اجزا دوم آن ها متفاوت باشند. وجود ندارد، یعنی اگر (x,z),(x,y) عناصر حاصلضرب مستقیم باشند، آنگاه y=z خواهد بود. بنابراین طبق تعریف:
3- تایی (f,x,y) را تابع گویند، هر گاه:
(1) باشد.
(2) F زوج هایی نداشته باشد که اجزا اول ان ها یکسان و اجزا دوم آن ها متقارن باشند.

گراف تابع:

در تابع f:X→Y مجموعه تمامیزوج هائی که اجزای اول آن ها را عناصر مجموعه X و اجزای دوم آن ها را تصویر عناصر مجموعه X تشکیل می دهند، گراف تابع خواهد بود.

مفاهیم مربوط به تابع:

برای توابع مفاهیمی مانند "گراف تابع"، "ناحیه مبدا تابع"، "ناحیه تعریف تابع"، "ناحیه مقادیر تابع" ظاهر می شود چون برای تابع، ناحیه تعریف با ناحیه مبدا منطبق می شود، بدین جهت برای تابع فقط ناحیه تعریف را به تنهایی به کار می برند. تابه f را با ناحیه تعریف x ناحیه مقصد y تابعی را "نوع x→y" می نامند.
تعبیر هندسی تابع:
f تابع است اگر خطی موازی محور y ها رسم کنیم منحنی تابع را فقط و فقط در یک نقطه قطع کند. یعنی به ازای یک y فقط و فقط یک x داشته باشیم.

تابع یک به یک و پوشا

دید کلی:

تابع f:x→y را در نظر می گیریم. منظور از تابع f، تصویر قلمرو آن است. یعنی مجموعه f(x)={f(x)│
معمولا تصویر تابع f:x→y را با نماد Im(f) نشان می دهند: بنابراین داریم: Im(f)=f(x)
به عنوان مثال، اگر تابع f، تصویر جانور x به وسیله نور آفتاب بر روی دیوار y باشد، آنگاه تصویر تابع f یعنی Im(f) برابر سایه جانور بر روی دیوار خواهد بود.
در حالت کلی، در مورد تابع دلخواه f(x), f:x→y معمولا با y براتبر نیست. مثلا درمثال تصویر جانور x به وسیله نور آفتاب بر روی دیوار y، سایه جانور یعنی f(x) معمولا نباید تمام دیوار را بپوشاند. البته امکان دارد که برای تابعی داشته باشیم.
در این حالت f را تابعی از مجموعه x به روی مجموعه y یا به طور خلاصه f را پوشا می نامیم.

تعریف تابع پوشا

تابع f:x→y را پوشا می نامیم اگر تنها f(x)=y

تعریف کلی برای تابع پوشا یا تابع در روی مجموعه ها:

گیریم f تابعی است که ناحیه تعریف آن x و ناحیه مقصد آن y باشد، یعنی تصویر x به توی y باشد:
در اینصورت مقادیر این تابع که آن ما با f(x) نشان می دهیم، یک زیر مجموعه ای است از مجموعه y ، یعنی f(x) cy یعنی اگر ناحیه مقصد y و ناحیه مقادیر تابع f(x) یکسان باشند، در اینصورت f تابعی از x در روی y است یا f "x را در روی y تصویر می کند". یا به طور ساده گویند f یک تابع پوششی است.
در این حالت از تابع هریک از عناصر ناحیه مقصد، افلا تصویر یکی از عناصر ناحیه تعریف تابع (x) می باشند.

مثالی از تابع پوشا:

1) تابع جز صحیح Ө:R→Z از مجموعه اعداد حقیقی به مجموعه اعداد صحیح که هر عدد حقیقی x را به جز صحیح x نظیر می کند.
Ө(x)=x
پوشاست. ولی تابع قدر مطلق α:R→R از مجموعه اعدادحقیقی به خودش که هر عدد حقیقی x را به قدر مطلق آن نظیر می کند.
Α(x)=│x│
پوشا نیست. چون اگر منحنی تابع قدر مطلق را رسم کنیم این منحنی فقط اعداد حقیقی مثبت را شامل میشود که با تعریف تابع قدر مطلق که تمام اعداد حقیقی را شامل میشود تناقص دارد. پس تابع قدر مطلق پوشا نیست.

تابع یک به یک:

تابع دلخواه f:x→y را در نظر می گیریم. فرض می کنیم b,a دو عنصر دلخو.اه متعلق به قلمرو f باشند. بر حسب تعریف تابع، تصاویر f(b),f(a) می توانند هر عنصری از مجموعه y یا برد f باشند. بنابراین ممکن است داشته باشیم.
F(a)=f(b)
مثلا تابع قدر مطلق α:R→R را در نظر می گیریم. واضح است که برای هر عدد حقیقی a داریم
Α(a)=a(-a)
البته ممکن است که برای تابع خاص f:x→y به ازای هیچ دو عنصر b,a از قلمرو f، تساوی امکان پذیر نباشد. توابعی را که دارای ان خاصیت مهم باشند، یک به یک می نامیم.

تعریف تابع یک به یک:

تابع f:x→y را یک به یک می نامیم، اگر و تنه اگر، تصاویر عناصر متمایز قلمرو f متمایز باشند. به عبارت دیگر، تابع f:x→y یک به یک است اگر و تنها اگر برای هر دو عنصر دلخواه x2,x1 از قلمرو f که f(x1)=f(x2) نتیجه شود a=b مثلا، تابع شمول i:x→y که و برای هر با ضابطه تعریف می شود، تابعی یک به یکی است. در حالی که هیچ یگ از تواغبع جز صحیح Ө:R→Z و قدرمطلق α:R→R، یک به یک نیستند.

تشخیص یک به یک بودن:

اگر f یک به یک باشد، هر خط موازی محور x ها را حداکثر در یک نقطه قطعه می کند. در غیر این صورت f یک به یک نخواهد بود.

تابع دوسویی:

تابع f:x→y را دو سویی می نامیم، اگرو تنها اگر یک به یک و پوشا باشد.
به عنئوانمثال: تابع f:R→R که درجه فارنهایت را به درجه سانتیگراد تبدیل می کند تابع دو سویی است برای هر مجموعه دلخواه x، تابع همانی i:x→x که برای هر با ضابطه i(x)=x تعریف می شود، تابعی دو سویی است. یعنی هم یک به یک و هم پوشا می باشد.

رابطه یک به یک بودن با صعودی یا نزولی بودن:

اگر تابع f صعودی یا نزولی باشد، آنگاه یک به یک خواهد بود. ولی هر تابع یک به یک، صعودی یا نزولی نیست.

تابع همانی:

می دانیم یک رابطه همانی روی مجموعه A رابطه ای است که برای هر عضو از مجموعه A چون a تنها شامل زوج مرتب (a,a)باشد و هیچ زوج مرتبی با مولفه های متمایز نداشته باشد .

یکی از معمول ترین سئوالهائی که مطرح می شود این است که: چه کسی صفر را کشف کرد؟ البته برای جواب دادن به این سئوال به دنبال این نیستیم که بگوئیم شخص خاصی صفر را ابداع و دیگران از آن زمان به بعد از آن استفاده می کردند.

اولین نکته شایان ذکر در مورد عدد صفر این است که این عدد دو کاربرد دارد که هر دو بسیار مهم تلقی می شود یکی از کاربردهای عدد صفر این است که به عنوان نشانه ای برای جای خالی در دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) بکار می رود. بنابراین در عددی مانند 2106 عدد صفر استفاده شده تا جایگاه اعداد در جدول مشخص شود که بطور قطع این عدد با عدد 216 کاملاً متفاوت است. دومین کاربرد صفر این است که خودش به عنوان عدد بکار می رود که ما به شکل عدد صفر از آن استفاده می کنیم.

هیچکدام از این کاربردها تاریخچه پیدایش واضحی ندارند. در دوره اولیه تاریخ کاربرد اعداد بیشتر بطور واقعی بوده تا عصر حاضر که اعداد مفهوم انتزاعی دارند. بطور مثال مردم دوران باستان اعداد را برای شمارش تعداد اسبان، ... بکار می برند و در اینگونه مسائل هیچگاه به مسئله ای برخورد نمی کردند که جواب آن صفر یا اعداد منفی باشد.

بابلیها تا مدتها در جدول ارزش مکانی هیچ نمادی را برای جای خالی در جدول بکار  نمی بردند. می توان گفت از اولین نمادی که آنها برای نشان دادن جای خالی استفاده کردن گیومه (") بود. مثلاً عدد6"21 نمایش دهنده 2106 بود. البته باید در نظر داشت که از علائم دیگری نیز برای نشان دادن جای خالی استفاده می شد ولیکن هیچگاه این علائم به عنوان آخرین رقم آورده نمی شدندبلکه همیشه بین دو عدد قرار می گیرند بطور مثال عدد "216 را با این نحوه علامت گذاری نداریم.  به این ترتیب به این مطلب  پی می بریم که کاربرد اولیه عدد صفر برای نشان دادن جای خالی اصلاً به عنوان یک عدد نبوده است.

البته یونانیان هم خود را از اولین کسانی می دانند که درجای خالی ,صفر استفاده می کردند اما یونانیان دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) مثل بابلیان نداشتند. اساساً دستاوردهای یونانیان در زمینه ریاضی بر مبنای هندسه بوده و به عبارت دیگر نیازی نبوده است که ریاضی دانان یونانی از اعداد نام ببرند زیر آنها اعداد را بعنوان طول خط مورد استفاده قرار می دادند.

البته بعضى از ریاضی دانان یونانی  ثبت اطلاعات نجومی را بر عهده داشتند. در این قسمت به اولین کاربرد علامتی اشاره می کنیم که امروزه آن را به این دلیل که ستاره شناسان یونانی برای اولین بار علامت 0 را برای آن اتخاذ کردند، عدد صفر می نامیم. تعداد معدودی از ستاره شناسان این علامت را بکار بردند و قبل از اینکه سرانجام عدد صفر جای خود را بدست آورد، دیگر مورد استفاده قرار نگرفت و سپس در ریاضیات هند ظاهر شد.

هندیان کسانی بودند که پیشرفت چشمگیری در اعداد و جدول ارزش مکانی اعداد ایجاد کردند هندیان نیز از صفر برای نشان دادن جای خالی در جدول استفاده می کردند.

اکنون اولین حضور صفر را به عنوان یک عدد مورد بررسی قرار می دهیم اولین نکته ای که می توان به آن اشاره کرد این است که صفر به هیچ وجه نشان دهنده یک عدد بطور معمول نمی باشد. از زمانهای پیش اعداد به مجموعه ای از اشیاء نسبت داده می شدند و در حقیقت با گذشت زمان مفهوم صفر و اعداد منفی که از ویژگیهای مجموعه اشیاء نتیجه نمی شدند، ممکن شد. هنگامیکه فردی تلاش می کند تا صفر و اعداد منفی را بعنوان عدد در نظر بگیرید با این مشکل مواجه می شود که این عدد چگونه در عملیات محاسباتی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم عمل می کند. ریاضی دانان هندی سعی بر آن داشتند تا به این سئوالها پاسخ دهندو در این زمینه نیز تا حدودى موفق بوده اند .  

این نکته نیز قابل ذکر است که تمدن مایاها که در آمریکای مرکزی زندگی می کردند نیز از دستگاه اعداد استفاده می کردند و برای نشان دادن جای خالی صفر را بکار می برند.

بعدها نظریات ریاضی دانان هندی علاوه بر غرب، به ریاضی دانان اسلامی و عربی نیز انتقال یافت. فیبوناچی، مهمترین رابط بین دستگاه اعداد هندی و عربی و ریاضیات اروپا می باشد

قرآن تنها معجزه پیامبر اسلام(ص) نبوده٬ بلکه پیامبر معجزات فراوانی داشته اند که در کتابهای شیعه و سنی به آنها اشاره شده است؛ ولی قرآن معجزه جاوید و منحصر به فرد پیامبر٬ عظمتی فراتر از تمامی معجزات دارد. برخی از نویسندگان و صاحب نظران در چند دهه اخیر٬ بُعد دیگری برای اعجاز قرآن بیان کرده اند که همان اعجاز عددی قرآن است. بر اساس این ادعا یک نظم ریاضی بر قرآن حاکم است٬ اما تا چند سال اخیر این راز علمی پنهان مانده بود و با ظهور رایانه هایی که می توانند حسابهای بسیار زیادی را در مدت کم و با دقت بالایی انجام دهند پرده از روی نظم ریاضی قرآن برداشته شد. رأس این گروه از پژوهشگران قرآن٬ افرادی چون رشاد خلیفه و عبدالرزاق نوفل هستند. دکتر رشاد خلیفه٬ بیوشیمیست و محقق آمریکایی مسلمان(مصری الاصل)٬ با هدف به دست آوردن توضیحی برای پارافهای اسرار آمیز قرآن٬ سوره های پاراف دار را به کامپیوتر وارد کرد و پس از چند سال تحقیق در سال 1973 اولین کتاب خود را به نام معجزات قرآنی اهمیت حروف اسرار آمیز به چاپ رساند. تحقیقات بیشتر٬ پرده از یک سیستم پیچیده ریاضی برداشت که در سراسر قرآن و همه جزئیات آن حکمفرماست. پدیده بى نظیرى که در قرآن وجود دارد، در هیچ کتاب نوشته دست بشر یافت نمی شود. هر یک از عناصر قرآن داراى ترکیبى ریاضی است. به خاطر این کد ریاضى جامع، کوچکترین تغییر در متن یا ساختمان ترکیبى قرآن، بلافاصله آشکار می شود. طراحی بسیار شگفت انگیز تمامی متن قرآن از یک نظم شگفت آور ریاضی تبعیت می کند. مبنای این سیستم ریاضی عدد 19 است. و 19 مخرج مشترکی برای تمامی اجزای قرآن است. این سیستم ریاضی٬ مانند خود قرآن، از بسیار ساده تا بسیار مشکل متغیر است. حقایق ساده مشاهداتى هستند که بدون هیچ وسایلى می توان آنها را بررسى کرد. ولی حقایق پیچیده ای هم وجود دارند که فقط به کمک ماشین حساب یا کامپیوتر قابل محاسبه اند. کلمه "الله" در قرآن ۲۶۹۸ مرتبه تکرار شده است(142×19). اما، سیستم ریاضى قرآن تنها به کلمه "الله" محدود نیست؛ بلکه بسیار گسترده، بسیار پیچیده، و کاملا جامع است. حقایق ساده ۱. اولین آیه (۱:۱)، معروف به "بسم الله"، شامل ۱۹ حرف است. ۲. قرآن داراى ۱۱۴ سوره است که می شود (6×19) 3. بسم الله ۱۱۴ مرتبه تکرار شده است، با وجود غیبت مرموز آن در سوره ۹ (درسورۀ ۲۷ دو بار تکرار شده است ) و ۱۱۴ = (6×19) 4. از غیبت بسم الله در سوره ۹ تا بسم الله اضافى در سوره ۲۷، دقیقاً ۱۹ سوره است. 5. مجموع شماره سوره ها از ۹ تا ۲۷ می شود (27+26+25+.......+12+11+10+9) = ۳۴۲ یا (18×19) 6. همچنین مجموع کلمات بین دو بسم الله سوره ۲۷هم برابر با 342 کلمه است که باز هم مساوی است با(18×19) 7. اولین آیات معروفى که ابتدا به پیامبر وحى شد (5-1:۹۶) شامل 19 کلمه است. 8. این اولین وحى، داراى ۷۶ حرف یعنی (4×19) است. 9. سوره ۹۶ که از نظر ترتیب زمانى اولین سوره است، داراى ۱۹ آیه است. 10. این اولین سوره از نظر ترتیب زمانى، از آخر قرآن نوزدهمین سوره است. 11. سوره ۹۶ شامل ۳۰۴ حرف عربى است و ۳۰۴ می شود (16×19) 12. آخرین سوره فرستاده شده(سوره ۱۱۰) شامل ۱۹ کلمه است. 13. اولین آیه از آخرین سوره وحى شده (1:۱۱۰) شامل ۱۹ حرف است. 14. ۱۴ حرف مختلف عربى، ۱۴ "پاراف قرآنى" مختلف (مانند ا . ل. م) را تشکیل می دهند که در ابتداى ۲۹ سوره قرار دارند. مجموع این اعداد می شود ۱۴+۱۴+۲۹=۵۷ یا (3×19) 15. مجموع ۲۹ سوره اى که "پاراف هاى قرآن" در آنها آمده است می شود: 822=68+50+.........+7+3+2 که این عدد به علاوه مجموعه تعداد پاراف ها می شود: 836=14+822 یا همان(44×19) 16. بین اولین سوره پاراف دار(۲) و آخرین سوره پاراف دار (۶۸)، تعداد ۳۸ سورۀ بدون پاراف وجود دارد که می شود (2×19) 17. بین اولین و آخرین سوره هاى پاراف دار 19 مجموعه پاراف دار و بدون پاراف وجود دارد. 18. ۳۰ عدد مختلف در قرآن تکرار شده است: 1٬2٬3٬4٬5٬6٬7٬8٬9٬10٬11٬12٬19٬20٬30٬40٬50٬60٬70٬80٬99٬100٬200٬300٬1000٬ 2000٬3000٬5000٬50000٬100000 مجموع این اعداد می شود 162146 یا (8534×19) 19. مجموع شماره آیاتى که دارى کلمه "الله" است، می شود ۱۱۸۱۲۳، این عدد هم بر ۱۹ قابل قسمت است: ۱۱۸۱۲۳=(6217×19) نمونه هایی دیگری از اعجاز عددی قرآن 1.حروف مقطعه در 29 سوره از قرآن حروف مقطعه آمده است که مجموع آنها 28 حرف از الفبای عربی را تشکیل می دهد، که گاهی آنان را حروف نورانی قرآن می نامند. الف:نسبت حرف(ق) در سوره "ق" از تمام سوره های قرآن بیشتر است. ب:مقدار حرف(ص) در سوره "ص" نیز به تناسب مجموع حروف سوره از هر سوره دیگر بیشتر است. ج:و نیز حرف(ن)در سوره "ن و القلم" بزرگترین رقم نسبی را در 114 سوره قرآن کریم دارد. 2. 90% اوامر قرآن هفتگانه یا سه گانه یا یگانه است برای مثال امر: "اعبدوا" (بپرستید) را 3 بار خطاب کرده است٬ 3 بار نسبت به اهل مکه در قرآن آمده است و 3 بار نسبت به پیامبر(ص) آمده است، شعیب پیامبر(ع) 3 بار به قوم خود گفته است، نوح(ع) 3 بار و هود(ع) 3 بار و صالح(ع) 3 بار و عیسی(ع) نیز 3 بار گفته اند که این سر غریب و عجیبی است. 3. اعجاز ریاضی زوج و فرد در قرآن کریم جمع اعداد زوج در قرآن کریم دقیقا مساوی با جمع تعداد آیات قرآن 6236 می باشد. جمع اعداد فرد مساوی مساوی با 6555 که حاصل جمع شماره سوره می باشد. 4.کلماتی که به تعداد مساوی و یا با مضربی مشخص در قرآن تکرار شده اند واژه دنیا 115 بار واژه آخرت 115 بار واژه شیاطین 68 بار واژه ملائکه 68 بار حیات و مشتقات آن 145 بار واژه موت 145بار قل 332 بار قالوا 332 بار ابلیس 11 بار استعاذه بالله 11 بار المصیبه 75 بار الشکر 75 بار الجهر 16 بار العلانیه 16 بار الشده 102 بار الصبر 102 بار المحبه 83 بار الطاعه 83 بار الرحمن 57 بار الرحیم 114=2×57 الجزاء 117 بار المغفره 234=2×117 الفجار 3 مرتبه الابرار 6=2×3بار العسر 12 بار الیسر 36= 3×12 این خلاصه فشرده اى از معجزات ساده قرآن بود. البته بر عهده خواننده است که در باره این مطالب تعمق و تحقیق کند٬ همان طور که در خود قرآن ذکر شده که: هیچ گونه اطلاعاتی را قبول نکن مگر اینکه شخصاً صحت آن را تحقیق کنی. من به شما شنوایی٬ بینایی و عقل داده ام و شما مسئول استفاده کردن از آنها هستید.

چرا باید ریاضیات بخوانیم؟راجر بیکن فیلسوف انگلیسی در سال 1267 میلادی پاسخ این سوال را چنین داده است: (کسی این کار را نکند نمیتواند چیزی از بقیه علوم و هر آنچه دراین جهان است بفهمد...چیزی که بدتر است این است که کسانی که ریاضیات نمیدانند به جهالت خودشان پی نمی برند ودر نتیجه در پی چاره جویی بر نمی آیند.)) می توانم همین جا سخنرانیم را پایان دهم اما ممکن است بعضیها فکر کنند که شاید خیلی چیزها در هفت قرن گذشته تغییر کرده باشد.... شاهدی تازه تر می آورم پال دیراک از خالقان مکانیک کوانتومی معتقد است که وقتی تئوری فیزیکی ای را پایه ریزی می کنید نبایدبه هیچ شهود فیزیکی ای اعتماد کنید.پس به چه چیزی اعتماد کنید؟به گفته ی این فیزیکدان مشهور فقط به برنامه ای متکی بر ریاضیات _ولو اینکه در نگاه اول ربطی به فیزیک نداشته باشد. در حقیقت در فیزیک تمامی ایده های صرفا فیزیکی رایج در ابتدای این قرن را کنار گذاشته اند در حالی که الگوهای ریاضی ای که به زرادخانه فیزیکدان ها راه یافته اند به تدریج معنای فیزیکی یافته اند.در اینجاستکه قابل اعتماد بودن ریاضیات به روشنی رخ مینمایاند. بنابراین الگوسازی ریاضی روشی پربار برای شناخت در علوم طبیعی است.اکنون می خواهیم الگوهای ریاضی را از نگاهی دیگر یعنی مسئله ی آموزش ریاضی بررسی کنیم. سه روش اموزش ریاضیات در اموزش ریاضیات روسی (هم در دبیرستان و هم در مقاطع بالاتر) ما پیرو نظام اموزشی اروپایی هستیم که بر اساس ((بورباکی ای سازی))ریاضیات بنا شده است (نیکلاس بورباکی نام مستعار گروهی از ریاضیدانان فرانسوی است که ازسال 1939 به انتشار مجموعه ای از کتابها دست زده اندکه در انها شاخه های اصلی ریاضیات جدید به طور اصولی_یعنی به روش اصل موضوعی براساس نظریه ی مجموعه ها_شرح داده شده است.) اصولی کردن ریاضیات به نوعی تصنعی کردن آموزش آن منجر می شود واین زیانی است که بورباکی ای سازی به آموزش ریاضیات وارد کرده است.نمونه ای شگرف مثال زیر است: از دانش آموز سال_دومی مدرسه ای در فرانسه پرسیده اند ((دو بعلاوه ی سه چقدر میشود؟)) پاسخ چنین بود ((چون جمع تعویض پذیر است می شود سه بعلاوه ی دو.)) پاسخی واقعا قابل تامل! کاملا درست است اما دانش آموزان حتی به جمع کردن ساده ی این دو عدد هم فکر نکرده اند زیرا در تعلیم انها تکیه بر ویژگی های عملها بوده است. در اروپا معلمان متوجه نارساییهای این روش شده اند و بورباکی ای سازی را کنار گذاشته اند. طی چند سال گذشته آموزش ریاضیات روسی دستخوش تغییراتی به سبک آمریکایی شده است.اساس این سبک این اصل است: آنچه را که برای کاربردهای عملی لازم است آموزش بدهید.در نتیجه کسی که فکر می کند به ریاضیات احتیاجی نخواهد داشت اصلآ لازم نیست ان را بخواند.ریاضیات درسی اختیاری در دوره ی راهنمایی و دبیرستان است_مثلآ یک سوم دانش آموزان دبیرستانی جبر نمی خوانند.نتیجه ی این امر را در مثال زیر روشن کرده ایم: در آزمونی برای دانش آموزان چهارده ساله ی آمریکایی از آنها خواسته شده بود که برآورد کنند (نه اینکه حساب کنند بلکه برآورد کنند) که اگر 80 درصد از عدد 120 رابرداریم این عدد چه تغییری می کند.سه نوع پاسخ را می توانستند انتخاب کنند: زیاد میشود،تغییری نمیکند،کمتر میشود.تقریبآ 30 درصد دانش آموزان سوال شونده پاسخ درست را برگزیده بودند.یعنی اینکه پاسخها را تصادفی انتخاب کرده بودند.نتیجه: هیچ کس هیچ چیز نمی داند.دومین ویژگی شاخص روش آموزش ریاضی آمریکایی،کامپیوتری کردن آن است. جذابییت کار با کامپیوتر به خودی خود به گسترش تواناییهای فکری کمکی نمی کند.مثالی دیگر از یکی از آزمونهای آمریکا میاوریم: کلاسی 26 دانش آموز دارد.این دانش آموزان می خواهند با اتومبیل به مسافرت بروند.در هر اتومبیل یک نفر از اولیا و چهار دانش آموزجا می شوند.چند نفر از اولیا را میتوانیم دعوت کنیم؟ جوابی که همه داده بودند 65 نفر بود جواب کامپیوتر : است،ودانش آموزان می دانستند که اگر جواب باید عددی صحیح باشد،می توان بلایی سر ممیز آورد_مثلآ می توان اصلآ آن را برداشت. نمونه ی دیگری از یکی از آزمونهای رسمی دانش آموزی در سال 1992 می آوریم: رابطه ی کدام زوج شباهت بیشتری به رابطه ی میان زاویه و درجه دارد: الف) زمان وساعت ب) شیر وکوارت ((واحد اندازه گیری مایعات برابر با 44/1 لیتر)) ج) مساحت و اینچ مربع پاسخ،مساحت و اینچ مربع است،زیرا درجه ی کوچکترین واحد اندازه گیری زاویه و اینچ مربع کوچکترین واحد اندازه گیری مساحت است،اما ساعت را می توان به دقیقه هم تقسیم کرد. طراح این مسئله مسلمآ مطابق نظام امریکایی می اندیشیده است.می ترسم که طولی نکشد که ما هم به چنین سطح نازلی برسیم.( جو برمن،استاد ریاضی در نیویورک توضیح داده که( از نظر او که آمریکایی است) ،پاسخ درست این مسئله کاملآ روشن است.او گفت که ((اصل مطلب این است که من می توانم میزان حماقت طراح این مسئله را دقیقآ تصور کنم.))_) مایه ی شگفتی است که تعداد زیادی ریاضیدان و فیزیکدان برجسته در ایالات متحده وجود دارد. امروزه آموزش ریاضیات ما آرام آرام از نظام اروپایی به نظام آمریکایی تبدیل می شود.مطابق معمول ،باز هم عقبیم،حدود سی سال از اروپا عقبتریم و بنابراین سی سال بعد زمان آن فرا میرسد که اوضاع را سروسامان بدهیم و از چاهی که با ظناب نظام آموزشی آمریکایی به آن رفته ایم بیرون بیاییم. سطح آموزش ریاضی سنتی ما بسیار بالا و بر اساس آموزش مسئله های حساب بوده است.حتی تا همین بیست سال پیش هم خانواده هایی بودند که نسخه هایی از کتابهای قدیمی مربوط به مسئله های ((سود و زیان)) را داشتند.در حال حاضر، همه ی اینها از بین رفته است.در آخرین اصلاحات آموزش ریاضی،جبری سازی، دانش آموزان را به روبات تبدیل کرده است. مساله های حساب است که ((بی محتوایی)) ریاضیاتی را که تدریس می کنیم نشان می دهند مثلآ این مسئله را در نظر بگیرید: 1.سه تا سیب داریم.یکی را برمی داریم.چند تا باقی مانده است؟ 2.چند برش با اره لازم است تا تکه ای هیزم را به سه بخش تقسیم کنیم؟ 3.تعداد خواهران بوریس از تعداد برادرانش بیشتر است.در خانواده ی او تعداد دختران چند تا بیشتر از تعداد پسران است؟ از منظر حساب اینها مساله های متفاوتی هستند،زیرا محتوایشان فرق می کند.همچنین،تلاش فکری لازم برای حل کردن مسئله ها هم کاملآ متفاوت است،هر چند که الگوی جبری هر یک از آنها یکی است: 2=1-3 جالب توجه ترین نکته در ریاضیات،فراگیر بودن شگفت آور الگوها و کارایی نامحدود انها در مساله های علمی است. به قول ولادیمیر مایاکوفسکی،شاعر بزرگ روس: ((کسی که اولین بار دو بعلاوه ی دو می شود چهار را، مطرح کرده است حتی اگر با جمع کردن دو تا ته سیگار با دو تا ته سیگار دیگر به این حقیقت رسیده باشد،ریاضیدان بزرگی بوده است.هر کس پس از او به این نتیجه رسیده باشد،حتی اگر چیزهای بسیار بزرگتری،مثل لوکوموتیوها را با هم جمع کرده باشد،ریاضیدان نیست)) لوکوموتیو شماری،روش آمریکایی آموزش ریاضیات است.چنین چیزی مصیبت بار است.طرز پیشرفت فیزیک در ابتدای سال اخیر نمونه ای است که نشان می دهد ریاضیات لوکوموتیوی به مراتب از ریاضیات ته سیگاری به درد نخورتر است:ریاضیات کاربردی نتوانسته همگام با فیزیک پیشترفت کند،در حالی که ریاضیات نظری هر آنچه را که فیزیکدانان برای بسط بیشتر دانش خودشان نیاز داشته اند برایشان فراهم کرده است.ریاضیات لوکوموتیوی از روال معمول عقب می ماند: تا حساب کردن با چرتکه را آموزش بدهیم،سر و کله ی کامپیوترها پیدا می شود .باید شیوه ی فکر کردن را آموزش بدهیم،نه طرز فشار دادن دکمه ها را.